Exponenţial îmi este bine!

Sigur aţi auzit-o pe aia cu îndoitul hîrtiei: cică nu poţi plia hîrtia mai mult de opt ori, orice ai face. Vrăjeală! Dacă ai o hîrtie suficient de mare, o poţi plia de cîte ori vrei tu. Recordul mondial, chiar acum, e de 12 îndoiri. Iar tipa care a făcut agerimea a scris şi ceva ecuaţii pentru asta. Dar nu despre record voiam să vă vorbesc aici, ci despre cum ilustrează îndoirile astea succesive creşterea exponenţială. Exemplul cu hîrtia şi cifrele mi-au fost date de Gizmodo, dar avem şi una clasică spre final. Să revenim la hîrtie.

O foaie de hîrtie tipică are o zecime de milimetru în grosime. Îndoai-o de două ori şi ai două patru zecimi de milimetru. De trei ori: patru opt zecimi. De patru ori: opt şaişpe zecimi. De zece ori şi deja ai vreo zece centimetri grosime. Iar de aici lucrurile devin interesante. Dacă împachetezi hîrtia ta, mult mai lungă decît un sul de hîrtie igienică, de 23 de ori, o să aibă un kilometru grosime. Iar dacă reuşeşti să o împachetezi de 30 de ori, ai ajuns în spaţiu, hîrtia ta va avea acum o sută de kilometri! Ha, dar noi nu ne oprim aici. Patruzeci şi două de împachetări vă aduc pe Lună, cincizeci şi una pe Soare. Treizeci douăzeci şi nouă de plieri mai tîrziu, cînd aţi ajuns la 81, hîrtia voastră are aproape 130.000 de ani lumină, ceva mai puţin decît galaxia Andromeda. Iar 93 de împachetări vor face ca hîrtia voastră să iasă din universul observabil, cam 93 de miliarde de ani lumină în diametru. Incomprehensibil, nu? Eu, de cînd am citit, stau cu gura căscată prin casă.

Dar poate vă e mai uşor de conceptualizat dacă povestim despre legenda inventării şahului. Se zice că un tip a apărut din ceaţa matematicilor prin India şi l-a învăţat şah pe un maharajah bogat. Care, încîntat de noul joc, i-a promis străinului că-i dă orice-i va cere. Drept care tipul a cerut, ca recompensă, o nimica toată: un bob de orez pe prima pătrăţică, două pe a doua, patru pe a treia, opt, şaişpe, treij’două… Mă rog, v-aţi prins, tot se dubla numărul de boabe de orez, pînă la căsuţa şaizeci şi patru, pentru care ar fi trebuit să primească 2⁶⁴ 2⁶³ boabe de orez. Un fleac? Not quite! Pentru căsuţa 64 trebuie mai mult de 9.000.000.000.000.000.000 boabe de orez. La 0,03 grame/bob, înseamnă vreo 250 de trilioane de tone de orez. Recolta mondială e de vreo 700 de milioane de tone pe an. Adică mahrajahul ar putea plăti pătrăţica 64 cu recolta globală în aproape opt patru sute de ani. Iar pentru toată datoria ar trebui 1600 800 de ani. Dăcît!

Text apărut în Caţavencii din 30 iulie 2014. Acolo s-a strecurat şi eraoarea de mai sus, pe căsuţa 64 sînt 2⁶³ boabe, nu 2⁶⁴, cum scrisesem în text. Vigilent, un cetitor mi-a sesizat imediat. Brava lui!