Alo, salut, sînt eu, un satelit

Vă povesteam data trecută cum preparăm coordonatele, din scriere zecimală în grade-minute-secunde şi viţăvercea. Super şi – iată – bine de ştiut, dar de unde luăm noi coordonatele astea? A-haaa, veţi zice, ni le dă jucăria de GPS din telefon! Corect, dar aveţi habar cum lucrează chestia asta?

Totul funcţionează pe baza unui proces numit trilateraţie. Care e doar un nume fiţos pentru “legile fizicii”. Şi ale logicii, adaug eu. Legea fizică implicată aici este următoarea: distanţa între două puncte este egală cu viteza semnalului deînmulţit cu timpul de tranzit. Banal, nu? Şi cum scoate divaisul meu o poziţie precisă din asta? Păi, relativ simplu.

Cînd pleacă un semnal de la satelit, semnalul se propagă pe o sferă cu satelitul în centru, sferă care tot creşte pe măsură ce trece timpul. În semnalul emis se găsesc poziţia precisă în spaţiu a satelitului şi timpul la care a plecat semnalul. Cînd ajunge la telefon, tot ce vede telefonul este timpul la care a ajuns acel semnal. Iar semnalul ăsta merge cu viteza luminii, că e undă electromagnetică. Deci, deocamdată, telefonul meu “ştie” că se află pe o sferă de rază r=c *(t_r-t_e), cu centrul unde este satelitul. t_r şi t_e sînt timpii de recepţie, respectiv emisie a semnalului.

Dacă am avea doi sateliţi, telefonul s-ar afla pe cîte o sferă cu centrul în fiecare dintre sateliţi. Mai precis, la intersecţia celor două sfere. Adică pe un cerc. Mai aducem încă un satelit: acum telefonul meu se află pe suprafaţa a trei sfere, cu centrele în cei trei sateliţi. Intersecţia a două sfere e un cerc, intersecţia unui cerc cu o sferă sînt două puncte. V-aţi prins: mai aducem un satelit. Cu patru bucăţi, din cele două puncte rămîne unul. Padabum! Am identificat poziţia telefonului cu doar patru sateliţi şi ceva software.

Ca să o traducem în limbaj matematic: raza fiecărei sfere se calculează adunînd pătratele diferenţelor dintre coordonate, că aşa zice Pitagora: r²=(x_t-x­_s)²+(y_t-y_s)²+(z_t-z_s)². Indicii “t” şi “s” sînt pentru telefon şi satelit. Totodată, raza r=c*(t_t –t_s). Ce ştim precis sînt x_s, y_s, z_s şi t_s. Ce nu cunoaştem sînt coordonatele x_t, y_t, z_t şi timpul indicat de telefon, t_t. Adică îl ştim, dar poate nu-i sincronizat cu sateliţii. Deci avem patru necunoscute. Cu patru ecuaţii din astea, le aflăm pe toate patru. De-aia ne trebuie patru sateliţi, nu mai puţin. Dar din cei 24 de sateliţi aflaţi în orbită pentru sistemul GPS, uneori şi nouă sateliţi sînt vizibili dintr-un loc, şi întotdeauna mai mulţi decît patru.

Restul nu e istorie, ci matematică. Şi un procesor dedicat, în stare să rezolve rapid sistemul ăsta de patru ecuaţii cu patru necunoscute. Ah, mai e ceva, care intră la “nesimţire” şi “hoţie”: cînd un smartphone apelează 112, operatorul ar trebui să activeze, de la distanţă, GPS-ul. Care să transmită poziţia exactă a telefonului. În America aşa merg lucrurile. La noi se plătesc 40 de milioane amicului premierului pentru un sistem pe care ni-l putem băga în cur. Iar noi, supuşi, o şi facem.

Text apărut în Caţavencii din 5 februarie 2014.